Родился 9 апреля 1909 г. в Тамбове. В Москве в 1925— 1929 гг. Дзержинский учился у Б. Яворского и М. Гнесина. В 1929 г. поступил в Ленинградскую консерваторию (класс композиции П. Рязанова).

В студенческие годы написаны фортепианные пьесы «Весенняя сюита» и «Поэма о Днепре», концерт для фортепиано с оркестром и симфоническая поэма «Повесть о партизане», ряд романсов и песен, а главное — создана первая опера, «Тихий Дон» (по Шолохову, 1932—1935). Через два года Дзержинский написал вторую оперу, «Поднятая целина» (либретто Л. Дзержинского по Шолохову, 1936—1937). Во время сочинения оперы, летом 1936 г., композитор ездил, по приглашению М. Шолохова, к нему в станицу Вешенскую, где знакомился с народным искусством донских казаков.

В последующие годы Дзержинским были написаны оперы «Волочаевские дни» (либретто В. Гусева по одноименному кинофильму братьев Васильевых, 1939), «Гроза» (по драме А. Н. Островского, 1940-—1954), «Кровь народа» (либретто автора, 1942), «Надежда Светлова» (либретто композитора и Е. Рысс, 1942).

В год окончания войны Дзержинский сочиняет третий фортепианный концерт, проникнутый светлыми, радостными чувствами.

В послевоенное время композитор создает ряд вокальных циклов, песен и романсов, но предпочтение отдает произведениям для музыкального театра. Им написаны комическая опера «Метель» (либретто Л. Дзержинского по Пушкину, 1945—1946), опера о героях-партизанах «Князь-озеро» (либретто Л. Дзержинского по мотивам повести П. Вершигоры «Люди с чистой совестью», 1946—1947), опера «Далеко от Москвы» (либретто Л. Дзержинского по одноименному роману В. Ажаева, 1948—1954), опера «Судьба человека» (либретто композитора по одноименному рассказу Шолохова, 1961), опера «Григорий Мелехов» («Тихий Дон», часть вторая, 1967) и опера «Вихри враждебные» (либретто Е. Каретниковой, 1969).

Таким образом, из 12 опер Дзержинского большинство посвящено современной теме. Реалистические тенденции определились уже в первой опере — «Тихий Дон». В ней раскрылось и большое лирическое дарование композитора, а также способность находить меткие музыкальные характеристики; отличное чувство сцены.

В основу сюжета оперы были положены эпизоды из первой и частично второй книг одноименного романа. В либретто, по сравнению с романом, сокращено количество действующих лиц, сближены по времени многие события. Творчески переосмыслены и некоторые образы. Григорий, по мысли авторов оперы, становится во главе молодого казачества, поднявшегося на борьбу за новую жизнь. Мишук показан не казаком, а крестьянином-бедняком. Аксинья в опере — не жена казака Астахова, а бедная вдова.

По рекомендации Д. Шостаковича, с первыми картинами «Тихого Дона» ознакомился художественный руководитель и главный дирижер ленинградского Малого оперного театра С. Самосуд, и хотя опера была еще далека от завершения, она, была принята к постановке. Вся дальнейшая работа Дзержинского над «Тихим Доном» протекала в тесном контакте с коллективом театра. Внимание и забота, которыми был окружен в театре начинающий композитор, во многом содействовали успеху произведения и спектакля. «Тихий Дон» обошел все театры Советского Союза. Опера звучала и в некоторых странах социалистического лагеря.

Достоинства музыки Дзержинского заключаются в ее эмоциональности, запоминаемости, напевности. Ясно ощутимы народнопесенные истоки музыкального языка «Тихого Дона». «На сцене вновь появились люди живой интонации и естественной повадки, — писал о нем Б. Асафьев, — мелодии одушевились песенностью, лирика стала вновь выразителем здорового чувства». Основная идея оперы — созревание революционного сознания парода. Наиболее полно она выявляется в массовых народных сцепах. В тесной связи с общественными событиями развертывается и драма Григория, Аксиньи, Натальи. Мысль, что судьба каждого человека зависит от судьбы всего народа, красной нитью проходит в опере.

Лирическая линия по ходу действия постепенно отодвигается на второй план, и главное внимание композитор уделяет раскрытию общественной темы. При этом опорными моментами драматургии оперы становятся песни. От печальных народных причитаний третьей картины через сурово-сдержанную скорбь хора «Ой и горд наш Тихий Дон» и стихийно-разудалую песню «Эх, житье-бытье окопное» лежит путь к финальному хору «От края и до края», который, впитав в себя наиболее характерные интонации старых революционных и массовых советских песен, стал художественным отражением подвига народа, разбуженного революцией.

В истории советской музыки опера Дзержинского «Тихий Дон» сыграла в свое время прогрессивную роль. Она оказала влияние на так называемое «песенное направление» в развитии советского оперного искусства.